Λίγα λόγια για τον Πυθαγόρα…

Πυθαγόρας ο Σάμιος (580 π.Χ. – 496 π.Χ.)

pythagoras3

   Ήταν σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατ’ εξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών, δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις και ήταν ιδρυτής ενός μυητικού φιλοσοφικού κινήματος που λέγεται Πυθαγορισμός. Γεννήθηκε το 580 π.Χ. και ως επικρατέστερος τόπος γεννήσεως παραδίδεται η νήσος Σάμος. Γύρω στο 530 π.Χ. μετακόμισε σε μία ελληνική αποικία στη νότια Ιταλία. Οι υποστηρικτές του Πυθαγόρα ακολούθησαν τις πρακτικές που ανέπτυξε και μελέτησαν τις φιλοσοφικές του θεωρίες. Τα μέρη συνάντησης των Πυθαγόρειων κάηκαν και ο Πυθαγόρας αναγκάστηκε να φύγει από την πόλη. Πέθανε στο Μεταπόντιον της Ιταλικής Λευκανίας σε ηλικία 84 ετών το 496 π.Χ. Ήταν μαθητής του φιλόσοφου Φερεκύδη στη Λέσβο και του Θαλή και Αναξίμανδρου στη Μίλητο. Έμεινε 22 χρόνια στην Αίγυπτο κοντά στους ιερείς της Μέμφιδας, της Ηλιούπολης και της Διόσπολης. Όταν όμως ο βασιλιάς των Περσών Καμβύσης κατέλαβε την Αίγυπτο, ο Πυθαγόρας μεταφέρθηκε αιχμάλωτος στη Βαβυλώνα και έτσι είχε την ευκαιρία να συναναστραφεί και με τους Πέρσες μάγους/σοφούς. Ελευθερώθηκε μετά από 12 χρόνια με τη μεσολάβηση του Έλληνα προσωπικού γιατρού του βασιλιά Δημοκήδη. Μετά από τα ταξίδια και τη μαθητεία, επέστρεψε στη Σάμο, σε ηλικία 56 ετών. Δεν του ήταν όμως το γραφτό να μείνει για πολύ στον τόπο του, καθώς εκείνη την εποχή κυβερνούσε τη Σάμο ο τύραννος Πολυκράτης. Δεν του άρεσαν του τύραννου οι ιδέες και οι διδασκαλίες του Πυθαγόρα, και τον κυνήγησε. Κατέληξε στην Κάτω Ιταλία, την τότε Μεγάλη Ελλάδα και εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα, όπου μαζί με άλλους ομόφρονές του ίδρυσε σχολή. Οι ιδέες του έκαναν ξεχωριστή εντύπωση, κυρίως στους νέους, και γρήγορα οδηγήθηκε στο δικαστήριο με την κατηγορία της διαφθοράς των νέων και της αθεΐας, όπου όμως τελικά αθωώθηκε. Η σχολή των Πυθαγορείων εμφανίζεται συγκροτημένη μέσα στις πόλεις της Μεγάλης Ελλάδος ως κίνημα πολιτικό και θρησκευτικό. Η φιλοσοφία μετακινείται από την περιοχή της Ιωνίας στην Κάτω Ιταλία, όπου ήκμαζαν οι ελληνικές πόλεις. Ο Πυθαγόρας δεν έγραψε κανένα έργο (ή τουλάχιστο, κανένα δεν επιβίωσε από το κυνήγι που υπέστησαν οι ιδέες του από την εποχή του ακόμα), έτσι το βάρος της διάσωσης της διδασκαλίας του έπεσε στους μαθητές του. Για τους πυθαγόρειους η ουσία των πραγμάτων βρίσκεται στους αριθμούς και στις μαθηματικές σχέσεις. Γνωστή είναι ακόμη η πυθαγόρεια διδασκαλία της «μιμήσεως» κατά την οποία τα αισθητά υπάρχουν κατ’ απομίμηση ατελή του τέλειου νοητού κόσμου. Έτσι εισάγεται στην Ελληνική φιλοσοφία η αντίληψη των δύο κόσμων, νοητού και αισθητού που επηρέασε, στη συνέχεια, την θεωρία για τον κόσμο των Ιδεών του Πλάτωνα. Η αληθινή πηγή της σοφίας για τους Πυθαγόρειους είναι η Τετρακτύς, δηλαδή οι τέσσερις πρώτοι φυσικοί αριθμοί που θεωρείται ότι συνδέονται μεταξύ τους με διάφορες σχέσεις. Ολόκληρη η ζωή των Πυθαγορείων ήταν μία αδιάκοπη άσκηση. Σηκωνόταν πρωί πριν βγει ο ήλιος. Ξαπλωμένοι ακόμα στο κρεβάτι έπρεπε να σκεφτούν τι έχουν να πράξουν όλη την ημέρα. Ώσπου να βγει ο ήλιος, σκόρπιοι μέσα στα δάση, έπαιζαν τη λύρα για να κάμουν διάθεση. Την ανατολή του ήλιου τη χαιρετούσαν με γονάτισμα. Ύστερα συναθροίζονταν όλοι στο σχολείο, όπου άρχιζε η συζήτηση για διάφορα επιστημονικά ζητήματα, με προτίμηση της αστρονομίας, της μουσικής και της γεωμετρίας. Πριν φτάσουν ως εκεί, πριν θεωρηθούν άξιοι για μαθητές, ο βίος τους εξετάζονταν προσεκτικά. Στη συνέχεια επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο. Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας, οι μαθητές του, γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν δικαίωμα να τον βλέπουν. Ο Πυθαγόρας δεχόταν εξίσου άνδρες και γυναίκες στην σχολή του, και ευνοούνταν οι γάμοι μεταξύ τους. Επίσης ο «αγαπημένος» θεός του Πυθαγόρα αλλά και των Πυθαγορείων ήταν ο Απόλλωνας, λογικό, εάν σκεφτεί κανείς πως Μαθηματικά, Μουσική, Αστρονομία, Φως, όλα ανήκουν στα «πεδία» του Απόλλωνα. Η κοινότητα στεγαζόταν σε ένα μεγάλο οίκημα, το Ομακοείον, όπου ο Πυθαγόρας δίδασκε τους -και των δυο φύλων- μαθητές του.

   Οι αριθμοί για τους Πυθαγόρειους είναι σύμβολα που εκφράζουν την ουσία των όντων και των φαινομένων. Έτσι, ο αριθμός 7 για παράδειγμα εκφράζει το νου, την υγεία και το φως, ο 4 την δικαιοσύνη, ο 3 το γάμο, ο 6 την εμψύχωση, ο 8 τον έρωτα και τη φιλία. Θεωρούσαν τους άρτιους αριθμούς ατελέστερους σε σχέση με τους περιττούς, εξαιτίας της άπειρης διαιρετότητας τους εν αντιθέσει με τους δεύτερους που εμφανίζουν μία απαρτισμένη ολότητα με αρχή, μέση και τέλος. Ο αριθμός 5 για παράδειγμα παρουσιάζει ολότητα διότι οι πρώτες δύο μονάδες παρουσιάζουν την αρχή, οι δύο τελευταίες το τέλος και η μεσαία μονάδα τη μεσότητα.

  Η διατροφή που ακολουθούσε ο Πυθαγόρας ήταν lacto vegetarian, δηλαδή έτρωγε φρούτα, λαχανικά, δημητριακά, ξηρούς καρπούς, ελάχιστα όσπρια και γαλακτοκομικά, με σειρά από τη μεγαλύτερη ποσότητα στην μικρότερη. Το κεχρί είναι ένα είδος δημητριακού πλούσιο σε βιταμίνες του συμπλέγματος Β, ενώ οι πρωτεΐνες του περιέχουν όλα τα αμινοξέα.

Φράσεις του Πυθαγόρα

Ελεύθερον αδύνατον είναι τον πάθεσι δουλεύοντα και υπό παθών κρατούμενον.
Μετάφραση: είναι αδύνατο να θεωρείται ελεύθερος αυτός που είναι δούλος στα πάθη του και κυριαρχείται από αυτά.
Μη εν πολλοίς ολίγα λέγε, αλλ’ εν ολίγοις πολλά. 
Ου πάντα τοις πάσι ρητά.
Μετάφραση: δεν μπορούν να ειπωθούν όλα σε όλους.
Χρη σιγάν ή κρείσσονα σιγής λέγειν.
Μετάφραση: πρέπει να σωπαίνεις ή να λες κάτι καλύτερο από τη σιωπή.
Αρχή πολιτείας απάσης νέων τροφά.
Μετάφραση: θεμέλιο κάθε πολιτείας είναι η ανατροφή των νέων.
Καρδίαν μη εσθίειν.
Μετάφραση: μην τρως την καρδιά σου (μη στεναχωριέσαι).
Βέλτιστοι γιγνόμεθα προς τους θεούς βαδίζοντες.
Εν οργή μήτε τι λέγειν μήτε πράσσειν.
Πάντα κατ’ αριθμόν γίγνονται.
Μετάφραση: τα πάντα γίνονται σύμφωνα με αριθμούς.
Σπεύδε βραδέως.
Θανέειν πέπρωται άπασι.
Μετάφραση: είναι γραφτό σε όλους να πεθάνουν.
Πράττε μεγάλα μη υπισχνούμενος μεγάλα.
Φορτίον μη συγκαθαιρείν, αλλά συνανατιθέναι τοις βαστάζουσι.
Μετάφραση: μη βοηθάς να αφήσουν κάτω το φορτίο, αλλά βοήθα να το κουβαλήσουν.
Κυάμων απέχεσθαι.
Μετάφραση: να απέχεις από τα κουκιά. (σ.σ. με την έννοια της αποχής από την πολιτική· τα κουκιά χρησιμοποιούνταν στη διεξαγωγή ψηφοφοριών).
Σιγάν την αλήθειαν, χρυσόν εστι θάπτειν.
Μη επτοήσθαι περί τας επιθυμίας, αλλ’ ολιγώρως έχειν.
Μετάφραση: να μη σε κυριεύει η επιθυμία, αλλά να αδιαφορείς.
Πυρ μαχαίρα μη σκαλεύειν.
(με την έννοια: μην οξύνεις επιθετικές διαθέσεις).
Πλούτος ασθενής άγκυρα.
Μη φορείν στενόν δακτύλιον.
(με την έννοια μη δεσμεύεσαι και μη δυσκολεύεις τη ζωή σου).
Το μεν σώμα εστίν ημίν σήμα.
Μηδέν θαυμάζειν.
Τας λεωφόρους μη βαδίζειν.
Λόγιζε προ έργου.
Μετάφραση: να σκέφτεσαι πριν κάνεις κάτι.
Το «ναι» και το «όχι», αν και είναι οι πιο σύντομες από όλες τις λέξεις, χρειάζεται να τις σκεφθεί κανείς πολύ προηγουμένως.
Να κάνεις αυτά που νομίζεις πως είναι σωστά, έστω κι αν κάνοντας αυτά πρόκειται να σε κακολογήσουν. Γιατί ο όχλος είναι κακός κριτής κάθε καλού πράγματος.
Αν δεν μπορείς να έχεις έναν πιστό φίλο, να είσαι ο ίδιος φίλος του εαυτού σου.
Μην ψάχνεις την ευτυχία, είναι πάντα μέσα σου.
Το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με των άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών.
(το γνωστό Πυθαγόρειο Θεώρημα που μάλλον προϋπήρχε όμως του Πυθαγόρα).

Πυθαγόρεια Φατρία

Η μορφή του Πυθαγόρα παρουσιάζεται να είναι διασπασμένη ανάμεσα σε εκείνη του φιλοσόφου και εκείνη του αρχαίου σαμάνου (ο μάγος ή θεραπευτής των αρχαίων πολιτισμών). Το αποδεικνύει η λίστα των παράξενων κανόνων κάθαρσης που επιβάλλει στους μαθητές του, πραγματικά ταμπού, ή καλύτερα πράξεις απαγορευμένες για θρησκευτικούς λόγους. Αυτοί είναι:

  1. Μην τρώτε κουκιά.
  2. Μη μαζεύετε αυτό που έχει πέσει κάτω.
  3. Μην αγγίζετε έναν λευκό κόκορα.
  4. Μην κομματιάζετε το ψωμί.
  5. Μην πηδάτε τα δοκάρια.
  6. Μη σκαλίζετε τη φωτιά με το σίδερο.
  7. Μη δαγκώνετε ολόκληρο το καρβέλι.
  8. Μην τσαλακώνετε τις γιρλάντες.
  9. Μην κάθεστε πάνω σε μία στάμνα.
  10. Μην τρώτε την καρδιά.
  11. Μην κοιτάζεστε στον καθρέπτη όταν βρίσκεστε κοντά στο φως κεριού.
  12. Να τεντώνετε το σεντόνι σας όταν σηκώνεστε από το κρεβάτι.
    (προσέξτε ότι ο κανόνας 4 δεν μπορεί λογικά να συνυπάρξει με τον κανόνα 7).

ρτερτ

   Η Τετρακτύς (τετράδα) του Πυθαγόρα, σημαίνει το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών, δηλαδή ο αριθμός 10=(1+2+3+4). Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν ως ρίζα και πηγή κάθε δημιουργίας την τετράδα αυτή των αριθμών και αποτελούσε τον μέγιστο και ιερότερο όρκο τους. Σήμερα, βλέπουμε το 4 απλώς σαν μια ποσότητα που μας επιτρέπει να λέμε ότι υπάρχουν τέσσερις εποχές μέσα σε ένα χρόνο, ή τέσσερις πλευρές σε ένα τετράγωνο. Για εκείνους, όμως, το 4 ήταν κάτι πολύ πιο σημαντικό από αυτό. Ήταν, λόγου χάρη, ο αριθμός της δικαιοσύνης. (Σ.τ.Μ.: Η δικαιοσύνη είναι «τετράγωνος αριθμός» και αργά ή γρήγορα, κάθε αδικία θα “τετραγωνιστεί” με αντίστοιχη τιμωρία) Το τέσσερα είναι 2 φορές το 2, πράγμα που για εκείνους σήμαινε μια εξισορροπημένη πλάστιγγα. Ομοίως, το 6 ήταν ο αριθμός του γάμου, γιατί το 6 είναι 2 φορές το 3 και θεωρούσαν το 2 ως θηλυκό αριθμό και το 3 ως αρσενικό. Έτσι, το 6 ήταν το πρώτο «αρσενικοθηλυκό» γινόμενο. Η αντίληψη ότι οι αριθμοί έχουν μη ποσοτικά χαρακτηριστικά, ήταν πιθανότατα μια ακόμη πλευρά της φιλοσοφίας που ο Πυθαγόρας απέκτησε στην Αίγυπτο, γιατί αυτό ήταν χαρακτηριστικό και της αιγυπτιακής αριθμολογίας. Οι πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι αριθμοί χρησίμευαν όχι μόνον ως ηθικά αρχέτυπα, αλλά και ως αρχέτυπα του υλικού κόσμου. Πράγματι, τους αριθμούς τους έβλεπαν ως μοντέλα για κάθε φυσική μορφή. Η έννοια των αριθμών ως πηγής μορφής προήλθε από την πυθαγόρεια ανακάλυψη ότι ο κάθε αριθμός θα μπορούσε να συσχετιστεί με ξέχωρα σχήματα. Λόγου χάρη, το 6, το 10 και το 15 ονομάζονταν τρίγωνοι αριθμοί επειδή έξι, δέκα ή δεκαπέντε κουκίδες θα μπορούσαν να διαταχθούν έτσι ώστε να σχηματίσουν ισόπλευρα τρίγωνα.  Ομοίως, το 4, το 9, και το 16 ονομάζονταν τετράγωνοι αριθμοί. Το 12 το θεωρούσαν “ορθογώνιο” αριθμό, επειδή θα μπορούσε να συγκροτηθεί από τρεις σειρές με τέσσερις κουκίδες και επίσης από δύο σειρές με έξι κουκίδες. Ορισμένοι αριθμοί, όπως το 6 (που είναι και τριγωνικός και “ορθογώνιος”), θα μπορούσαν να πάρουν περισσότερα του ενός σχήματα. Οι κουκίδες θα μπορούσαν να τοποθετηθούν σε όποιο σχήμα θα διάλεγε κανείς: σε πεντάγωνα, σε εξάγωνα, σε οκτάγωνα και λοιπά.

H «δίκαιη κούπα» του Πυθαγόρα!

δσφσδφ

    Η «κούπα του Πυθαγόρα» ή η «δίκαιη κούπα» είναι μια ανακάλυψη του Πυθαγόρα για να πίνει με μέτρο το κρασί του αλλά και για να σερβίρει τους μαθητές του, υπερτονίζοντας την έννοια του μέτρου και των ορίων. Η ιδέα του Πυθαγόρα ήταν απλή: Έπρεπε να περιοριστεί η απληστία στο ποτό! Πώς θα γινόταν αυτό; Το πήλινο ποτήρι αδειάζει κατά έναν «μαγικό» τρόπο όταν εκείνος που το κρατάει αποδειχτεί… πλεονέκτης και το γεμίσει περισσότερο απ’ όσο πρέπει. Στην κούπα υπάρχει χαραγμένο ένα όριο, μια γραμμή. Αν το υγρό που περιέχει δεν υπερβεί τη γραμμή αυτή, ο πότης απολαμβάνει το κρασί του. Εάν, όμως, ξεπεράσει τη γραμμή του ορίου, τότε η κούπα αδειάζει και το κρασί χύνεται από τη βάση. Αδειάζει όλη η κούπα, όχι μόνο η επιπλέον ποσότητα. Πως όμως γίνεται αυτό; Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα που οδηγεί στο κάτω μέρος της. Ενώ η κούπα γεμίζει, η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης, ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία. Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας «δεν τρέχει τίποτα». Μόλις όμως το υγρό υπερβεί τη γραμμή-όριο τότε αρχίζει να ρέει μέσω του εσωτερικού σωλήνα από τη βάση της κούπας. Τα μόρια του υγρού παρασύρουν το ένα το άλλο με αποτέλεσμα, ως δια μαγείας, η κούπα να αδειάζει παντελώς! Αυτό, πέρα από μια απλή εφαρμογή της υδραυλικής, αποτελεί και έναν τρόπο διδαχής: Όταν το όριο ξεπερνιέται (ύβρις) δεν χάνονται μόνον όσα έχουν ξεπεράσει το όριο αλλά και όλα τα προηγούμενα που είχαν αποκτηθεί (νέμεσις). Το άριστο οφείλουμε να το απολαμβάνουμε με μέτρο, σαν τον οίνο που ήδη έχουμε στην κούπα μας, αντλώντας τη μέγιστη ωφέλεια χωρίς να επιζητούμε παραπάνω!

Πυθαγόρειες Τριάδες

τυρτθ

Ορθογώνιο τρίγωνο, λέγεται το τρίγωνο που έχει μια γωνία ορθή.
Πυθαγόρειο Θεώρημα: Το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών, ενός ορθογωνίου τριγώνου, είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Δηλαδή x2 + y2 = z2. Οι τριάδες των φυσικών αριθμών x, y, z  που συνδέονται με την σχέση x2 + y2 = z2 λέγονται «Πυθαγόρειες Τριάδες». Οι φυσικοί αριθμοί 3, 4, 5 που ικανοποιούν την ισότητα x2 + y2 = z2 αποτελούν μια  «Πυθαγόρεια τριάδα».
Πόσες τέτοιες τριάδες υπάρχουν; Άπειρες!

Ο Ευκλείδης (330-275 π.Χ.) έδωσε μια μέθοδο εύρεσης Πυθαγορείων Τριάδων:

  • Αν λ, μ είναι φυσικοί αριθμοί και λ>μ τότε οι x=λ22,  y=2λμ,  z= λ22 είναι μια Πυθαγόρεια Τριάδα.
  • Αν x, y, z  είναι Πυθαγόρεια Τριάδα και κ είναι φυσικός αριθμός, τότε οι κx, κy, κz αποτελούν επίσης Πυθαγόρεια τριάδα.

Ο Πλάτωνας (5ος-4ος αιώνας π.Χ.) είπε ότι οι αριθμοί όπου μ άρτιος μεγαλύτερος του 2, αποτελούν Πυθαγόρειες Τριάδες. Αργότερα τον 3ο μ.Χ αιώνα, ο Διόφαντος,  απέδειξε ότι, από τις παραπάνω προτάσεις του Ευκλείδη προκύπτουν όλες οι Πυθαγόρειες Τριάδες (z= λ22 , x=λ22,  y=2λμ). Το 1637 ο Pierre Fermat έγραψε: «Είναι αδύνατο να γράψουμε ένα κύβο ως άθροισμα δυο κύβων, μια τέταρτη δύναμη ως άθροισμα δυο τετάρτων δυνάμεων ή γενικότερα ένα αριθμό που είναι δύναμη ανώτερη της δεύτερης ως άθροισμα δυο δυνάμεων της ίδιας τάξης». Η πρόταση αυτή γνωστή σήμερα ως  «Το τελευταίο θεώρημα του Fermat» μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:  «Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 2 τότε η εξίσωση xν + yν = zν δεν επαληθεύεται για καμία τριάδα φυσικών αριθμών». Η απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat ήρθε τρεισήμισι αιώνες αργότερα, στο τέλος του εικοστού αιώνα από τον  Andrew Wiles.

Γεώργιος-Αλέξιος Κ. Καραντώνης

Advertisements

About Gio Don Karanton

Μαθηματικός
This entry was posted in Άρθρα, Μαθηματικά and tagged , , , . Bookmark the permalink.

One Response to Λίγα λόγια για τον Πυθαγόρα…

  1. Ο/Η geopela λέει:

    Reblogged στις ΠΑΝΤΑ ΧΑΜΟΓΕΛΑΜΕ.

    Μου αρέσει!

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s