Ο κύκλος των εννέα σημείων (κύκλος του Euler)

Ο κύκλος των εννέα σημείων είναι ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών του τριγώνου, τα ίχνη των υψών του τριγώνου καθώς και από τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων που ενώνουν τις κορυφές του τριγώνου με το ορθόκεντρό του.

Σχήμα 1
Ο γαλάζιος κύκλος, διέρχεται από τα μέσα A’, B’, C’ των πλευρών τριγώνου ABC, από τα ίχνη (πόδες) των υψών του A΄΄, B΄΄, C΄΄ και τα μέσα A*, B*, C* των τμημάτων HA, HB, HC (αποστάσεις των υψών από το ορθόκεντρο ως την αντίστοιχη κορυφή).

Απόδειξη
Το Α*ΗΑ’Ο είναι παραλληλόγραμμο. Το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι το μέσον Q της ΟΗ και η διαγώνιος Α’Α* είναι παράλληλη και ίση προς την ακτίνα ΟΑ του περιγεγραμμένου κύκλου. Συνεπώς τα σημεία Α*, Α΄΄, Α’ είναι στον κύκλο με κέντρο Q και διάμετρο ίση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Το ίδιο θα ισχύει και για τις ανάλογες τριάδες σημείων B*, B΄΄, B’ και C*, C΄΄, C’.

Συμπεράσματα

• Για να βρούμε το κέντρο του κύκλου σχεδιάζουμε το τρίγωνο των τριών μέσων των πλευρών A΄, Β΄, C΄ και βρίσουμε το κέντρο Q του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου αυτού. Το Q είναι το κέντρο του κύκλου του Euler.
• Το κέντρο του κύκλου του Euler είναι στο μέσο της ευθείας Euler ΗΟ και η ακτίνα του είναι το μισό της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου του.
• O κύκλος του Euler είναι ομοιόθετος του περιγεγραμμένου κύκλου, με κέντρο ομοιοθεσίας το ορθόκεντρο Η και λόγο ομοιοθεσίας 1/2. Αυτό προκύπτει από την παραλληλία των ακτινών των δύο κύκλων: QA*=OA/2.
• Οι ευθείες ΟΑ και ΗΑ’ τέμνονται επί του περιγεγραμμένου κύκλου λόγω της ομοιοθεσίας των δύο κύκλων ως προς το Η.
• Το ύψος ΑΑ΄΄ τέμνει ξανά τον περιγεγραμμένου κύκλου σε σημείο Η_Α και το μέσον της ΗΗ_Α είναι το Α΄΄. Και αυτό είναι συνέπεια της ομοιοθεσίας των δύο κύκλων.
• Μια ιδιότητα του κύκλου του Euler, είναι ότι εφάπτεται των τριών τρισεφαπτομένων κύκλων του τριγώνου (εγγεγραμμένου και τριών παρεγγεγραμμένων). (Θεώρημα Feuerbach)

• O κύκλος του Euler είναι ειδική περίπτωση της κωνικής εννέα σημείων που διέρχεται από τα έξι μέσα πλευρών ενός πλήρους τετραπλεύρου. Η ειδική περίπτωση λαμβάνεται όταν οι κορυφές του τετραπλεύρου αποτελούν μια ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε τρία από τα τέσσερα σημεία σχηματίζουν τρίγωνο που έχει το τέταρτο σημείο ως ορθόκεντρο.

Σχήμα 2

• Ο κύκλος του Euler (των εννέα σημείων) τριγώνου ABC είναι ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών, τα ίχνη των υψών και τα μέσα των αποστάσεων του ορθόκεντρου από τις κορυφές (δηλαδή στο σχήμα που ακολουθεί τα σημεία Α΄, Β΄, C΄, Α₁, Β₁, C₁, Α₁΄, Β₁΄, C₁΄.
• Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το μέσο μιας πλευράς του τριγώνου με το μέσο της απόστασης του ορθόκεντρου από την κορυφή που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά αυτή είναι διάμετρος του κύκλου Euler δηλαδή στο σχήμα που ακολουθεί μία διάμετρος είναι η C₁C₁΄.
• Η ακτίνα του κύκλου του Euler είναι ίση με τη μισή ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
• Η απόσταση του ορθόκεντρου από μια κορυφή τριγώνου είναι ίση με το διπλάσιο της απόστασης του κέντρου του περικύκλιου του τριγώνου από την απέναντι της κορυφής αυτής πλευρά, δηλαδή HC=2OC₁΄.
• Αν Η το ορθόκεντρό του και Μ τυχαίο σημείο του κύκλου Euler του τριγώνου τότε ισχύει ΜΑ²+ΜΒ²+ΜC²+ΜΗ² σταθερό.

Ευθεία του Euler
Το περίκεντρο Ο, το κέντρο βάρους G και το ορθόκεντρο H κάθε τριγώνου, περιέχονται σε ευθεία και ισχύει HG = 2GO.

Απόδειξη
Ενώνουμε το περίκεντρο Ο με το κέντρο βάρους G (σημείο τομής διαμέσων) και ορίζουμε το Η προεκτείνοντας κατά το διπλάσιο GH=2OG. Αν ΑΑ’ διάμεσος, τα τρίγωνα που σχηματίζονται GHA και GOA’ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 2, αφού το κέντρο βάρους χωρίζει κάθε διάμεσο σε λόγο 2:1. Άρα η ΑΗ ως παράλληλη της ΟΑ’ είναι κάθετος στην BC. Συνεπώς, το Η είναι επί του ύψους προς την BC. Όμοια και με τις άλλες διαμέσους, προκύπτει ότι το Η είναι επί όλων των υψών, άρα συμπίπτει με το ορθόκεντρο.

Συμπέρασμα
Το ΑΗ είναι διπλάσιο του ΟΑ’ και το ΗG διπλάσιο του GO.

 Γεώργιος-Αλέξιος Κ. Καραντώνης